Нестандартни и забавни задачи

Макар на пръв поглед математиката да изглежда наука за квадратни глави и подредени мозъци, истината е, че нестандартното мислене и интересните хрумвания и начини за решение на дадена логическа или математическа задача, са си доста ценни качества. И в подкрепа на тая своя стара теза, която не спирам да ви натрапвам, че с класическите математически задачи ще може да се справяме много по-добре, ако преди това сме тренирали мозъка си в решаване на различни нестандартни и забавни задачи, когато многократно сме провокирали по този начин оригиналното си мислене, продължавам да ви предлагам подобни главоблъсканици. След като минахме през кулинарията, търговията, самолетите, литературната класика, виното и нумизматиката, ето че днес в помощ на развиването на математическото си мислене ще призовем и рок музиката, фотографията и музикален продуцент от Япония :) Ето я и днешната главоблъсканица. Богат японски музикален продуцент чува, че в страната му за кратко ще пребивава известна американска рок звезда.Той отчаяно искал да се срещне с рок звездата. Както и да направи снимка на знаменития рок музикант по време на пристигането му на летището, която да публикува на следващия ден в най-големите вестници. Представителите на пресата имали предимството, че могат да снимат артиста, когато той напусне митническата зона. Продуцентът попитал може ли и той да носи камера в зоната на митническия контрол, за да направи снимката, обаче му отговорили, че това би било нарушение на определено международно правило. Как според вас продуцентът е решил този проблем? :) Май тоя път съвсем я прекалих – къде е математиката, къде е музиката, къде е фотографията?! До скоро – и дано не звучи като заплаха:)

Намерете фалшивата монета

В книгата си “Новите шарлатани” Марат казва, че най-добрите математици са като живи машини, изчисляват всичко по готови формули, без да се замислят. Аз обаче, както може би сте забелязали вече, споделям абсолютно противоположното мнение – математиката и задачите по математика не са само умножение на големи числа, както считат повечето хора. Силата на математиката според мене се крие другаде – в умението да се формализират проблемите и да се работи с тях на абстрактно ниво. Затова съм на мнение, че точно тези задачи, които от известно време ви предлагам за решение, в много по-голяма степен могат да се нарекат задачи, отколкото примерно умножаването на петцифрени цисла. В тези, които аз ви предлагам, не са нужни само изчисления, за това идеална работа би ви свършила всяка сметачна машина, за тях е нужно нещо повече и именно него се опитвам да развия у вас – интелигентност и съобразителност. Днешната логическа задача, с която ще поработим в тази посока, се казва Намерете фалшивите монети. Сред стотина еднакви на вид монети има няколко фалшиви. Всички фалшиви монети са с еднакво тегло, истинските – също. Фалшивата монета е по-лека от истинската. Има също така везни – с две купи без стрелки, - на всяка купа може да се побере само една монета. При това балансът на везната е леко повреден – ако монетите са с различно тегло, повдигат по-тежката монета; а ако са с еднакво тегло, могат да повдигнат коя да е купа на везната. В задачата се пита: Как все пак с помощта на тази повредена везна бихме могли да намерим поне една фалшива монета? Иска мислене май, пак ще ви поизпотя – после кажете, че традиционните задачи по математика са по-сложни:)

Задача с вино и вода

Продължавам да ви представям математиката и решаването на математически задачи, като нещо, което може да се случи лесно, стига да сме развили логическото си мислене. И продължавам да действам в тази посока под формата на занимателна и весела игра. Крайната цел вече съм я формулирала ясно – да развиете въображение, пространствено и логическо мислене и да направите срещата си с вече по-сложните математически задачи и ребуси приятно изживяване. Даже и най-простата и забавна наглед задача изисква от решаващия я да обмисли поредица от възможни решения и въпроси, да разгадава, да обмисля възможни комбинации, с две думи усилено да работи, преди да намери правилния отговор. Но пък както и друг път е ставало дума, всяко усилие си струва и рано или късно се отблагодарява. Днешната задача, която предлагам на вниманието ви, се казва Вино и вода. Не, не повтарям онази криминална задача за отровените чаши с вино:) Нова е. Веднъж главният герой на нашата задача, да го наречем Иван, решил да направи следния експеримент. Поставил пред себе си две съвсем еднакви чаши. Едната пълна с вино, а другата – с вода. Иван гребнал с чаена лъжичка от чашата с вода и я изсипал в чашата с вино. След което разбъркал сместа в чашата с вино. От получената смес гребнал с лъжичката и излял в чашата с вода. И след тези действия той си задал въпроса: Кое е повече: виното в чашата с вода или водата в чашата с вино. Май този път изглежда лесно?! Тихите води обаче са най-опасни, както и лесните наглед задачи:)

Литературната класика и математическите задачи

Здравейте, приятели математици и логици! Май ви поизпотих миналия път. Дано не сте се уплашили и да продължите да следите блога ми, пък и да отговаряте на новите математически задачи и логически загадки, които ще продължа да ви предлагам. Днес ще бъдете изненадани още от заглавието. Но е така – даже и най-отдалечените и наглед нямащи нищо общи науки и изкуства понякога намират допирни точки и се преплитат. Днес ще ви покажа как литературата и математиката понякога могат да намерят среща на едно поле. И за да ви докажа, че това е възможно, ще обърна поглед към руската класическа литература. Антон Павлович Чехов има един разказ, който се казва “Учител”. Ясно е, че щом намира място в моя блог, учителят ще дава уроци по математика и най-вероятно ще има ученик, който пък ще трябва да решава някакъв математически проблем. Но да премина по същество. В разказа учителят възлага на ученика Егор да реши една задача, той не успява. Когато се прибира вкъщи, той моли баща си – секретар на губернията в оставка – да реши математическата задача, която го е затруднила и баща му успява да се справи с нея след не дълги пресмятания. Нека да видим как ще се справите вие с въпросната задача. Търговец купува 138 метра червен и черен плат и плаща общо 540 евро (нека да бъдем съвременни:)). В задачата се пита: Колко метра от единия и колко метра от другия плат е купил търговецът, ако се има предвид, че червеният плат е с цена 5 евро за метър, а черният с цена 3 евро за метър. Успех.

Намерете броя на чашите

Днешната математическа задача, която ще ви предложа, може и да мине за забавна, но съм сигурна, че подложи на сериозно изпитание умението ви да мислите логически. И ще го доразвие, разбира се. Нали това е смисълът на математическите загадки, които ви предлагам всеки път. В днешната задача изискването е да се намери броят на чашите. Не се стряскайте от факта, че освен математически, задачата има и леко криминален нюанс. Ето я и нея: На голямо и шумно празненство става инцидент – направен е опит един от гостите да бъде отровен. Всички гости веднага били евакуирани. Когато пристигнали полицейските служители, видели огромна маса с чаши с вино, но никой от гостите не успял да си спомни къде точно е стоял потърпевшият. Единственото, което се знаело, че отровената чаша е една, а всичките чаши били от сто до двеста. Трябвало да се установи точно коя чаша е отровена. Криминалният експерт казал, че няма смисъл да проверяват чаша по чаша – това щяло да отнеме много време. И след като изброил чашите казал: Ще вземем неголямо количество течност от няколко чаши и ще проверим сместа, така че няма да се налага да правим десетки проверки, за да установим коя е отровената чаша. При което, вземайки една чаша, заявил, че това е чашата, която трябва да изследват първа. Тази своя оптимална методика той достигнал въз основа на броя на чашите. Изхождайки от тези данни, вие също може да определите какъв е точният брой на чашите, които са били на масата. Май този път ще ви поизпотя наистина. Но както и друг път съм казвала, всяко усилие, положено за решението на математическа задача или тест, даже и да не доведе до верния резултат, един ден се отплаща.

Полетът на бомбардировача

Сигурно на много от вас, особено на момчетата, филмите, свързани с войната и с всякакъв вид военна техника, са им особено интересни. Няма момче, пък защо не и момиче, което ще пропусне авиошоу, в което се представя модерна авиационна или военна техника, което няма да се възхити на сложните и много рисковани фигури, които правят пилотите с мощните машини. Сигурно малцина от вас обаче си дават сметка, че и зад създаването на тия сложни машини, пък и зад управлението им стоят години изчисления, решаване на сложни математически задачи, чертаене на сложни геометрични схеми. Всичко в една летателна машина, всичко в един полет, всичко в работата на един пилот е свързано с математиката. При това тези математически задачи и изчисления не са като тези в часовете по математика. Ако в час или пък вкъщи, решавайки задача, имаш право да сбъркаш, на проектантската маса или в пилотската кабина нямаш право на грешка – защото там се греши само веднъж и обикновено е фатално. Вече сигурно се питате защо е този дълъг увод и не преминавам направо към задачата, която съм ви подготвила за днес. Е, трябва все пак някак да ви мотивирам, да ви заинтригувам, нали. Ето я и днешната математическа задача – разбира се, ще е свързана с летене. Казва се Полетът на бомбардировача: Бомбардировач, движещ се със скорост 250 мили в час, се озовава над целта един час по-късно от предвиденото. На връщане пилотът поддържал скорост 300 мили в час и се върнал в базата точно по разписание. Пита се: С каква скорост е трябвало да лети бомбардировачът към целта, за да я достигне навреме. Успех и до скоро!

Преливане на вода

Продължаваме. Може и вече да съм ви омръзнала със занимателните задачи, които ви поставям, и с постоянните си опити да ви накарам да заобичате мисленето, точните науки и задачите по математика, но така ще е и за в бъдеще. Поставила съм си цел и ще я следвам. Пък и все пак съществува нещо, на което казват информирано съгласие – и предполагам, че то е факт, щом сте на страниците на моя блог – където още от началото ви обещах, че ще публикувам интересни и забавни главоблъсканици и въобще информация, която да улесни подготовката ви по този, минаващ за труден и скучен учебен предмет. Ще кажете поне отговори на задачите да даваше. Умишлено не давам отговори. Математиката изисква постоянни съмнения и размишления – затова никога не затварям страницата и не поставям точка. За да се съмнявате и да продължавате да мислите – повярвайте ми, в подготовката ви това е много-много полезно. Днешната забавна задачка ще наречем Преливане на вода. Доста често срещана е водата в математическите задачи. Прелива се от едно място на друго, обратно, търсят се някакви стойности. Ето я и задачата: В два съда има общо b-литра вода. От първия съд преливаме във втория половината от намиращата се в него вода. След това от втория преливаме в първия половината от получилия се обем вода. После отново от първия наливаме във втория съд половината от съдържаемото – и така до безкрай. Какво се пита в задачата: Как в крайна сметка ще се разпредели количеството вода между двата съда?

Задача:На каква цена се е договорил купувачът?

Здравейте, приятели на математиката! Ще раздвижваме ли и днес мозъчни клетки със забавни математически задачи? За ползата от тренировките на ума няма да говоря, както, ми се струва, е излишно и да говоря за ползата от редовното занимание със задачи по математика. Че математиката е навсякъде в живота – не е задължително професионално да се занимаваш с търговия, икономика или финанси, за да си изправен ежедневно пред нуждата от елементарни знания по математика. Днешната ми забавна задача се казва “На каква цена се е договорил купувачът?” и сигурна съм, ще ви достави истинско удоволствие и ще ви предизвика да се позамислите. Преминавам към нея. С уговорката, че цените, които са упоменати в задачата, са съвсем условни – не хранете надежда, че може да купите кон толкова евтино:) Търговец продава кон за 156 лева. Намира се купувач, но по време на сделката купувачът се разколебава и казва на търговеца: “Не съм предвидил да дам толкова пари за един кон, струва ми се, че той не струва толкова”. Търговецът обаче бил опитен и казал на продавача: “Ако цената на коня ти се струва висока, то тогава плати само гвоздеите на подковите му, а пък коня ще ти го дам безплатно. Гвоздеите във всяка подкова са шест. За първия гвоздей ще ми дадеш всичко на всичко ¼ стотинка, за втория ½ стотинка, за третия – една стотинка и т. н.” Купувачът, съблазнен от ниската цена и от това, че ще получи безплатно коня, се съгласил на сделката, като изчислил, че за всичките гвоздеи ще плати не повече от 10 лева. В тази задача по математика се пита: На каква цена всъщност се е договорил купувачът. Направете математическите разчети и се опитайте да направите жизнени изводи за ползата от решаване на задачи по математиката! Успех!

Обяд за трима

Сложна задача съм си поставила и тя е постоянно да ви доказвам че в задачите и тестовете по математика няма нищо чак толкова неприятно. И мисля, че съм намерила най-подходящият начин за това – като ви предлагам приятни и забавни главоблъсканици. Днешната е малко в стила на изпита на госпожа Розенблум от любима моя детска книжка “Пипи Дългото чорапче”. Знаете сложните отношение на Пипи с математиката и с таблицата за уморение, както тя я нарича. Та ако си спомняте на тоя изпит в книжката неприятната госпожа Розенблум зададе на Пипи следната математическа задача: Ако Пер и Пол трябва да си поделят една торта и Пер получи една четвърт от тортата, какво ще получи тогава Пол. Тези, които са чели тази книжка, сигурно си спомнят какъв отговор даде Пипи на тази сложна задача – Пол ще получи болки в стомаха. Та така с необходимата доза усмивка, с каквато искам да подхождате към предмета, преминавам и към днешната загадка, която пак е свързана с ядене и условно можем да наречем Обяд за трима. Ето я и нея: Иван плаща на касата на училищната столова за три ястия, а Лъчезар – за две (всичките пет ястия са на еднаква стойност). След като сядат на масата, за да обядват, към тях се присъединява и Петър и тримата заедно изяждат по половината от всички ястия. След направения приятелски разчет, става ясно, че Петър трябва да плати за изядената храна пет лева. В задачата се пита: Каква част от тези пет лева трябва да отидат при Иван и каква – при Лъчезар. Вече чувам какво казват печените математици: Елементарно, Уотсън. Аз бих добавила – и доста забавно!

Математиката може и да е забавна

Здравейте, приятели на математиката, логическото мислене и интересните математически казуси. Като човек, силно изкушен от тази наука и наясно с това, какво многообразие и богатство представлява тя, искрено се ядосвам на наложеното мнение за математиката като суха, скучна и неприятна за изучаване материя. Миналия път с една забавна математическа загадка се опитах да ви убедя в обратното. Надявам се, че поне отчасти съм успяла. Обещавам ви, че скоро няма да спра с опитите си да ви накарам да заобичате математиката и да установите приятелски отношения с нея. И в тоя ред на мисли и действия днес отново ще ви предложа една забавна математическа задача, която да скъси дистанцията между вас и набедената за суха и безинтересна математика. Ето я и нея:)

От мост над малка рекичка скача плувец и започва да плува срещу течението. Едновременно с това от главата на човек, стоящ на моста, пада шапката му и започва да плува по течението. След десет минути плувецът се обърнал и заплувал към моста и когато стигнал до него, стоящите на моста го помолили да не спира а да догони шапката. Плувецът настигнал шапката , когато стигнал до втория мост, който бил на отстояние от първия 1000 м. Скоростта, с която е плувал плувецът, е неизвестна, знаем само, че е била постоянна. Като разполагате само с тези данни, определете каква е скоростта на течението на реката. Ами сега?! Не съм казал, че математиката е лесна наука, само казах, че е интересна. А е интересна точно затова, защото и най-приятните и леки задачи изискват да поразмърдаме малко сивото си вещество. Успех и до скоро!

Забавни задачи

Знаете, че освен теоретическа подготовка, успешното решаване на задачи и тестове по математика изисква и ученикът да има развито логическо мислене. Някои го притежават по рождение, на други им се налага да го развиват постоянно. Затова тук няма да ви предлагам сложни математически тестове и задачи, а ще се опитам по един приятен начин да ви накарам да раздвижите малко мозъчните си клетки.

Днес ще ви възложа една несложна и даже забавна задача, с която ще развиете логическото си мислене, че после и най-сложните и заплетени задачи на матурата по математика ще ви се сторят като детска игра. Ето я и самата задача. Казва се Самолет и вятър:

Самолет прави ежедневни полети от точка А до точка Б и обратно, без престой или кацане в точка Б. Разстоянието от точка А до точка Б е 1 км. Самолетът поддържа постоянна скорост по време на целия полет и тя е равна на v км/ч. На първия ден времето е съвсем тихо, без вятър, на втория ден духа вятър в посока от точка А до точка Б – също с постоянна скорост w км/ч. Ясно е, че втория ден самолетът ще вземе по-бързо разстоянието от точка А до точка Б, отколкото първия ден, а за обратния рейс – от точка Б до точка А – ще изразходи повече време, отколкото е изразходил предния ден.

Въпросът е дали времето в двете посоки през втория ден ще е равно на времето в двете посоки през първия ден, или не. Мислете. А аз чакам отговори:) До скоро.

Моят блог за математика

Здравейте, приятели и добре дошли в блога ми за решения и задачи по математика. В него ще публикувам интересни задачи, а заедно с вас ще търсим решенията им - като разбира се ще помагам в някои случаи :)

Надявам се в бъдеще моят блог да бъде в помощ на зрелостници и кандидат-студенти за матура и изпити. Ще се радвам, ако го разпространите сред приятелите си, които също се подготвят, и да решаваме, и да се учим заедно на това прекрасно изкуство, което е математиката.

В коментарите можете да казвате задачи, които са ви затруднили при решаването, а аз ще ги публикувам и после заедно ще търсим възможните им решения.

Тъй като съм привърженичка на онлайн обучението, ви препоръчвам ако знаете английски, да започнете да ползвате сайта Khanacademy.org, който разполага с огромна база данни от видеоклипове с обяснения на почти всичко в математиката, а също и със задачи в интерактивен формат, които решавате след като изгледате някой урок. Дано негов еквивалент се появи скоро и на български или поне да бъде преведен.

Пожелавам ви успех в подготовката и в крайните резултати на изпита ви по математика и се надявам с мое и ваше съдействие, да успеем да помогнем и на други ваши връстници и съученици.